Pálmi Gestsson lauk námi frá Leiklistarskóla Íslands árið 1982. Hann hefur leikið fjölda hlutverka hjá Þjóðleikhúsinu, LR, í kvikmyndum og sjónvarpi, meðal annars með Spaugstofunni.

Meðal nýlegustu verkefna Pálma við Þjóðleikhúsið eru Lér konungur, Bjart með köflum, Hænuungarnir, Engisprettur og Hart í bak. Meðal annarra hlutverka Pálma við Þjóðleikhúsið má nefna Prohaska yngri í Sveyk í síðari heimsstyrjöldinni, Braskara-Björn í Ömmu þó, Helga í Skugga-Sveini, Kasper í Kardemommubænum ('85 og '95), Billy Flinn í Chicago, Porterhouse í Með vífið í lúkunum, Herrick í Í deiglunni, Cléante í Aurasálinni, Viktor í Yermu, Pál í Brestum, Valmont í Háskalegum kynnum, Bill Sikes í Oliver Twist, Kvist í ballettinum Draumi á Jónsmessunótt, Torkelsen í Gleðispilinu, Ólaf í Elínu Helgu Guðríði, Jón í Hafinu, Doolittle í My Fair Lady, Önna í Kjaftagangi, Stefán í Þrettándu krossferðinni, Eugene yngri í Seið skugganna, McMurphy í Gaukshreiðrinu, Ragga Sagga í Taktu lagið, Lóa!, Pollock í Leigjandanum, Eirík leikstjóra í Nönnu systur, Hjálmar Ekdal í Villiöndinni, Bruce Delamitri í Poppkorni, Vigfús sýslumann í Solveigu, Krogstad í Brúðuheimili, Jón bónda í Gullna hliðinu, Tryggva í Landkrabbanum og Hannes Karlsson, eldri bróðurinn í Já, hamingjan, Simpson í söngleiknum Syngjandi í rigningunni, Georg í Hver er hræddur við Virginíu Woolf?, de Guiche í Cyrano frá Bergerac, útflytjandann í Strompleiknum, Jonnipittimikka í Halta Billa og Hertogann af Bokkinham í Ríkarði þriðja, Hérastubb bakaria Dýrunum í Hálsaskógi og Louis Leplée og Bruno í Edith Piaf.

Pálmi lék nýlega í Svörtum fugli í Hafnarfjarðarleikhúsinu og Brottnáminu úr kvennabúrinu í Íslensku óperunni.

Meðal kvikmynda sem Pálmi hefur leikið í eru Gullsandur, Stella í  orlofi, Benjamín dúfa, Englar alheimsins, Bíódagar, Ikingut og Vaxandi tungl sem frumsýnd verður á næsta ári. Ásamt félögum sínum hefur Pálmi  unnið og leikið yfir 400 þætti af Spaugstofunni.

Pálmi sat í þjóðleikhúsráði um tólf ára skeið.

Pálmi var tilnefndur til Grímunnar - Íslensku leiklistarverðlaunanna fyrir leik sinn í Hænuungunum.

Verkefni Pálma í Þjóðleikhúsinu í vetur eru Hreinsun, Heimsljós og Bjart með köflum.

Síðast uppfært í ágúst 2011.